Probabilidade da união de dois eventos

A probabilidade da união de dois eventos envolve a chance de o evento A ou de o evento B ocorrer. Por exemplo, imagine um espaço amostral formado por pessoas, e uma delas será sorteada aleatoriamente. Nesse caso, a probabilidade da união de dois eventos envolveria o cálculo da probabilidade de o sorteado ser uma mulher ou ter menos que 18 anos, por exemplo.

Existe uma fórmula específica para calcular a probabilidade da união de dois eventos. Dados dois eventos, A e B, a probabilidade da união de ambos é dada por:

\(P(A\cup B)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)\)

Caso a intersecção entre os eventos seja vazia, a probabilidade da união é calculada pela soma das probabilidades de cada um dos eventos, ou seja:

\(P(A\cup B)=P(A)+P(B).\)

Leia também: Conceitos básicos no estudo da probabilidade

Resumo sobre a probabilidade da união de dois eventos

• Dados dois eventos, A e B, em um mesmo espaço amostral, a probabilidade da união de A com B é a probabilidade de A ou de B ocorrer.

• Para calcular a probabilidade da união de dois eventos, utilizamos a fórmula: \(P(A\cup B)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)\).

• Quando não existe intersecção entre os eventos, o cálculo é feito por meio da fórmula \(P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)\).

Fórmula da probabilidade da união de dois eventos

A probabilidade da união de dois eventos, A e B, é representada por \(P\left(A\cup B\right)\). Ao calcular a probabilidade da união de dois eventos, estamos calculando qual é a probabilidade do evento A ou de o evento B ocorrer. Para isso, utilizamos a seguinte fórmula:

\(P(A\cup B)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)\)

Podemos dizer, então, que a probabilidade da união de dois eventos é calculada pela probabilidade do primeiro evento ocorrer mais a probabilidade do segundo evento ocorrer menos a probabilidade da intersecção de ambos, sendo que a probabilidade da intersecção de dois eventos é igual à probabilidade do primeiro e do segundo evento ocorrerem simultaneamente.

A segunda fórmula de probabilidade da união serve para o caso de não haver intersecção entre os dois eventos, ou seja, quando eles são mutuamente exclusivos. Nesse caso, a intersecção é igual a 0, então a probabilidade da união de dois eventos mutuamente exclusivos é calculada por:

\(P(A\cup B)=P\left(A\right)+P\left(B\right)\)

Como calcular a probabilidade da união de dois eventos

Para calcular a probabilidade da união de dois eventos, é importante calcularmos cada uma das probabilidades, pois temos que:

\(P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(U\right)}\)

Consideramos que \(n\left(A\right)\) é o número de elementos no evento A e que \(n\left(U\right)\) é igual ao número de elementos no espaço amostral.

De forma análoga, temos:

\(P\left(B\right)=\frac{n\left(B\right)\ }{n\left(U\right)}e\ \ P\left(A\cap B\right)=\frac{n\left(A\cap B\right)}{n\left(U\right)}\)

Assim, para calcular a probabilidade da união, obtemos:

\(P\left(A\cup B\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(U\right)}+\frac{n\left(B\right)}{n\left(U\right)}-\frac{n\left(A\cap B\right)}{n\left(U\right)}\)

Exemplo:

Dois dados serão lançados simultaneamente, e a soma daquilo que apareceu na face superior será anotada. Nessa situação, qual é a probabilidade de o resultado ser um número múltiplo de 3 ou maior que 8?

Resolução:

Primeiramente, vamos identificar os eventos:

• A →  aparecer um número múltiplo de 3.

• B →  aparecer um número maior que 8.

Ao lançar dois dados, temos os seguintes resultados possíveis:

Analisando a tabela, temos que:

• n(A) = 12, ou seja, há 12 resultados múltiplos de 3.

• n(B) = 10, ou seja, há 10 resultados maiores que 8.

Agora, encontraremos a intersecção, que são os resultados maiores que 8 e múltiplos de 3, ou seja, o 9 que se repete 4 vezes e o 12.

n \(\left(A\cap B\right)\) = 5

Há 5 resultados que são múltiplos de 3 e maiores que 8.

Por fim, sabemos que há um total de 36 possibilidades.

n(U) = 36

Calculando a probabilidade, temos:

\(P\ (A\ \cup B)\ =\frac{n\left(A\right)}{n\left(U\right)}+\frac{n\left(B\right)}{n\left(U\right)}-\frac{n\left(A\cap B\right)}{n\left(U\right)}\)

\(P\left(A\cup B\right)=\frac{12}{36}+\frac{10}{36}-\frac{5}{36}\)

\(P\left(A\cup B\right)=\frac{17}{36}\)

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Exercícios resolvidos sobre probabilidade da união de dois eventos

Questão 1

Uma moeda será lançada três vezes consecutivas. Qual é a probabilidade de aparecer cara exatamente uma vez ou coroa exatamente uma vez?

A) 2/3

B) 1/4

C) 1/2

D) 3/4

E) 7/8

Resolução:

Alternativa D

Primeiramente, identificaremos os eventos.

• A →  aparecer cara exatamente uma vez.

• B →  aparecer coroa exatamente uma vez.

Agora, descreveremos o nosso conjunto universo:

c: cara e k: coroa

U = {ccc, cck, ckc, kcc, kkc, kck, ckk, kkk}

n(U) = 8

Então, temos:

A = {kkc, kck, ckk}

n(A) = 3

B = {kkc, kck, ckk}

n(B) = 3

Nesse caso, sabemos que a intersecção é vazia. Assim, calculando a probabilidade:

\(P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)\)

\(P\left(A\cup B\right)=\frac{3}{8}+\frac{3}{8}\)

\(P\left(A\cup B\right)=\frac{6}{8}\)

\(P\left(A\cup B\right)=\frac{3}{4}\)

Questão 2

Em uma urna, há cartões numerados de 1 a 25, e 1 cartão será sorteado ao acaso. Nessas condições, qual é a probabilidade de o número do cartão ser múltiplo de 4 ou múltiplo de 6?

A) 0,32

B) 0,45

C) 0,54

D) 0,64

E) 0,80

Resolução:

Alternativa A

Os eventos são:

• Sair um número múltiplo de 4: A = {4, 8, 12, 16, 20, 24}

• Sair um número múltiplo de 6: B = {6, 12, 18, 24}

A intersecção entre os conjuntos é igual a \(A\cap B\ ={12,\ 24}\). Logo:

n(A) = 6 e n(B) = 4 \(n(A\cap B)\) = 2

Por fim, como há 25 cartões, n(U) = 25. Sendo assim, temos:

\(P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)\)

\(P\left(A\cup B\right)=\frac{6}{25}+\frac{4}{25}-\frac{2}{25}\)

\(P\left(A\cup B\right)=\frac{8}{25}=0,32\)