Whatsapp icon Whatsapp

Tetraedro regular

Tetraedro regular é um sólido geométrico cujas quatro faces são triângulos equiláteros congruentes e cujos ângulos poliédricos são congruentes.
Piraminx em formato de tetraedro regular.
Piraminx é um quebra-cabeça em formato de tetraedro regular.

Tetraedro regular é um sólido geométrico formado por quatro faces triangulares regulares e congruentes, ou seja, quatro triângulos equiláteros iguais. Os ângulos poliédricos também são congruentes entre si.

Outra maneira de compreender essa figura espacial é visualizar uma pirâmide de base triangular em que todas as arestas possuem a mesma medida.

Leia também: Sólidos de Platão — casos particulares de poliedros

Resumo sobre o tetraedro regular

  • Tetraedro regular é um sólido geométrico cujas faces são triângulos equiláteros congruentes entre si.

  • O tetraedro regular é formado por 4 faces triangulares, 6 arestas e 4 vértices.

  • A altura do tetraedro regular é a distância entre a base e o vértice oposto.

  • A área do tetraedro regular é a soma das áreas dos triângulos equiláteros que formam as faces.

  • O volume do tetraedro regular é um terço do produto entre a área da base e a altura.

Características do tetraedro regular

As principais características do tetraedro regular são:

  • 4 faces formadas por triângulos equiláteros congruentes;

  • 6 arestas congruentes;

  • 4 vértices. 

Esquema ilustrativo das características principais do tetraedro regular.

Outros elementos importantes do tetraedro regular são o apótema e o apótema da base.

  • Apótema é a altura da face lateral. No caso do tetraedro regular, o apótema é a altura de um triângulo equilátero.

  • Apótema da base é o apótema de um triângulo equilátero. Assim, é a distância entre o centro do triângulo da base e o ponto médio de uma de suas arestas.

Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;)

Altura do tetraedro regular

No tetraedro regular, a distância entre a base e o vértice oposto é chamada de altura. No tetraedro ABCE abaixo, o segmento AE de medida h é perpendicular ao plano BCE. Assim, AE é a altura do tetraedro ABCE.

Delimitação de altura de tetraedro

Mas como encontrar quanto mede a altura AE? Ou seja, qual o valor de h?

Sendo G o ponto médio da aresta CD, observe que podemos construir um triângulo retângulo utilizando a altura AE como um dos catetos, o apótema da base EG como outro cateto e o apótema AG do tetraedro como outro cateto.

Triângulo retângulo delimitado em tetraedro regular.

Se a é a medida das arestas do tetraedro ABCD, consequentemente:

  • \(AG= \frac{a\sqrt3}2\), pois AG é altura do triângulo equilátero ACD.

  • \(EG= \frac{1}3 ×\frac{a\sqrt3}2 = \frac{ a\sqrt3}6\), pois E é baricentro e ortocentro do triângulo equilátero BCD e, portanto, mede um terço da altura BG da base.

Portanto, aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo AEG:

\(h^2+(EG)^2=(AG)^2\)

\(h^2+(\frac{a√3}6)^2=(\frac{a√3}2)^2\)

\(h^2=\frac{3a^2}4-\frac{a^2}{12}\)

\(h^2=\frac{2a^2}3\)

\(h= \frac{a \sqrt2}{\sqrt3}\)

Podemos racionalizar ao multiplicar a expressão anterior pela fração \(\frac{\sqrt3}{\sqrt3}\) e obtemos a expressão para a altura h do tetraedro regular de aresta a:

\(h =\frac{a\sqrt6}3\)

Saiba mais: Pontos notáveis do triângulo — mediana, baricentro, ortocentro etc.

Área do tetraedro regular

A área de um tetraedro regular é a medida de sua superfície. Como as quatro faces do tetraedro regular são triângulos equiláteros, a área A desse sólido é dada por

\(A=4×\frac{a^2 \sqrt3}4=a^2 \sqrt3\)

em que a é a medida da aresta do tetraedro regular.

Volume do tetraedro regular

O volume V de um tetraedro regular é a medida do espaço ocupado por este sólido. Essa medida vale um terço do produto entre a área da base e a altura. Lembre-se que a área da base corresponde à área de um triângulo equilátero.

\(V=\frac{1}3 (A_b×h)=\frac{1}3 (\frac{a^2 \sqrt3}4 × \frac{a \sqrt2}{\sqrt3})\)

Simplificando os termos \(\sqrt3\), podemos concluir que o volume de um tetraedro regular é dado por

\(V=\frac{a^3\sqrt2}{12}\)

Planificação do tetraedro regular

Planificando o tetraedro regular, obtemos a seguinte figura:

 Planificação de tetraedro regular

Tetraedro regular x tetraedro irregular

Enquanto as faces do tetraedro regular são triângulos equiláteros congruentes, um tetraedro irregular possui outros tipos de faces triangulares. Como consequência, as expressões que encontramos para altura, área e volume do tetraedro regular não são válidas para um tetraedro irregular.

 Exemplos de tetraedros irregulares
 Exemplos de tetraedros irregulares

Exercícios resolvidos sobre tetraedro regular

Questão 1

Considere um tetraedro regular em que cada aresta mede 2 cm. Assim, é correto afirmar que a área total desse sólido vale

a) \(2\sqrt3\ cm\)

b) \(4\sqrt3\ cm\)

c) \(8\sqrt3\ cm\)

d) \(16\sqrt3\ cm\)

e) \(32\sqrt3\ cm\)

Resolução:

Alternativa B

Como as quatro faces de um tetraedro regular são triângulos equiláteros, a área total é dada por

\(A=4×\frac{a^2 \sqrt3}4=a^2 \sqrt3\)

Se a = 2 cm, então

\(A=2^2 \sqrt3=4\sqrt3\ cm\)

Questão 2

Ao estudar um sólido geométrico, Ana fez duas observações.

I. Este sólido possui 4 faces iguais.

II. As faces desse sólido são triângulos equiláteros.

O nome do sólido descrito por Ana em I e II é

a) tronco de pirâmide.

b) hexaedro.

c) tetraedro regular.

d) prisma triangular.

e) cone.

Resolução:

Alternativa C

As descrições de Ana se referem ao tetraedro regular, um sólido cujas quatro faces são triângulos equiláteros congruentes.

Publicado por Maria Luiza Alves Rizzo

Artigos Relacionados

Baricentro de um triângulo
Entenda o que é o baricentro de um triângulo e aprenda como encontrá-lo quando representado no plano cartesiano. Resolva as questões referentes ao tema.
Fórmulas para Cálculo de Volume de sólidos
Aprenda fórmulas para calcular o volume de sólidos, tendo em vista sua forma e dimensões.
Geometria espacial
Conheça tudo sobre geometria espacial clicando aqui! Aprenda os principais sólidos e as suas fórmulas para área total e volume.
Pirâmide
Clique aqui, aprenda o que é pirâmide, conheça seus diferentes tipos e calcule seu volume e sua área utilizando as fórmulas específicas para esses cálculos.
Pontos notáveis de um triângulo
Clique aqui e entenda o que são os pontos notáveis de um triângulo. Saiba quais são eles e descubra como diferenciá-los.
Sólidos geométricos
Clique para aprender o que são sólidos geométricos, seus tipos e para obter alguns exemplos desses objetos.
Teorema da bissetriz interna
Conheça o teorema da bissetriz interna e como aplicá-lo em um triângulo para encontrar valores desconhecidos. Confira ainda exercícios sobre o assunto.
Teorema de Pitágoras
Conheça o teorema de Pitágoras e aprenda a usá-lo para encontrar lados desconhecidos de um triângulo retângulo. Confira ainda exercícios sobre o assunto!
Triângulo equilátero
Conheça o triângulo equilátero. Aprenda quais são suas propriedades. Veja a fórmula para calcular a área e a altura dessa figura.
Triângulo retângulo
Entenda o que é triângulo retângulo, calcule sua área e seu perímetro, e saiba aplicar o teorema de Pitágoras! Veja relações trigonométricas no triângulo retângulo.
video icon
Escrito"Matemática do Zero | Classificação de ângulos" em fundo azul.
Matemática do Zero
Matemática do Zero | Classificação de ângulos
Nessa aula veremos como é classificado um ângulo: nulo, agudo, reto, obtuso, raso e pleno (uma volta).

Outras matérias

Biologia
Matemática
Geografia
Física
Vídeos
video icon
Pessoa com as pernas na água
Saúde e bem-estar
Leptospirose
Foco de enchentes pode causar a doença. Assista à videoaula e entenda!
video icon
fone de ouvido, bandeira do reino unido e caderno escrito "ingles"
Gramática
Inglês
Que tal conhecer os três verbos mais usados na língua inglesa?
video icon
três dedos levantados
Matemática
Regra de três
Com essa aula você revisará tudo sobre a regra de três simples.