Teorema de Ptolomeu

Sabemos de grandes matemáticos do passado e de suas variadas contribuições para os campos da álgebra, trigonometria, geometria e demais áreas da matemática, como Pitágoras, Arquimedes, Pascal, Heron de Alexandria e outros. Claudius Ptolomeu também foi um desses grandes matemáticos, além de astrônomo e geógrafo. Ptolomeu nasceu por volta do ano de 85 no Egito e morreu, aproximadamente, no ano de 165 em Alexandria, também no Egito. Foi Ptolomeu quem propôs a teoria do geocentrismo, que perdurou por cerca de 1400 anos.

Além de suas contribuições na astronomia e na geografia, Ptolomeu influenciou a matemática (em particular, a trigonometria) propondo um teorema que leva seu nome: Teorema de Ptolomeu. Vejamos o que diz esse teorema.

Considere um quadrilátero ABCD inscrito em uma circunferência, como mostra a figura. O teorema de Ptolomeu diz que: o produto das diagonais AC e BD é igual à soma dos produtos dos lados opostos.

Ou seja:

AC∙BD = AB∙CD + AD∙BC

Esse teorema é muito útil no estudo da trigonometria, pois, através dele, podemos obter o teorema de Pitágoras e, se combinado com a Lei dos Senos, conseguimos demonstrar as fórmulas de sen (a + b) e sen (a – b).

Vejamos um exemplo de aplicação do teorema de Ptolomeu.

Exemplo: Considere o quadrilátero ABCD inscrito numa circunferência, como mostra a figura.

Sabendo que a diagonal AC mede 12 cm, determine a medida da diagonal BD.

Solução: Pelo teorema de Ptolomeu, temos que:

AC∙BD = AB∙CD + AD∙BC

Segue que:

Por Marcelo Rigonatto
Especialista em Estatística e Modelagem Matemática