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Soma e Produto das Raízes de uma Equação do 2º grau

Ao resolvermos uma equação do 2º grau temos as seguintes possibilidades para o resultado:

∆ > 0, duas raízes reais e distintas.
∆ = 0, uma única raiz real e distinta.
∆ < 0, nenhuma raiz real.


Nos casos em que equação possui raízes reais algumas relações são observadas. Veja:

Soma das raízes – (x1 + x2)
Produto das raízes – (x1 * x2)

As raízes de uma equação do 2º grau são determinadas a partir das seguintes expressões:


Com base nessas informações vamos determinar as expressões matemáticas responsáveis pela soma e produto das raízes.

Soma




Produto





Com a utilização dessas expressões podemos determinar as raízes de uma equação do 2º grau sem aplicar a resolução de Bháskara, respeitando a formação dessa equação com base na soma e no produto das raízes: x² – Sx + P = 0.

Observe:

A equação x² + 9x + 14 = 0 possui as seguintes raízes de acordo com as expressões da soma e do produto:

Soma




Produto



Com base nesses valores, devemos determinar quais os dois números em que a soma seja -9 e o produto 14. Observe:

7 e 2
S = 7 + 2 = 9
P = 7 * 2 = 14

–7 e 2
S = –7 + 2 = – 5
P = –7 * 2 = – 14

7 e –2
S = 7 + (–2) = 5
P = 7 * (–2) = –14

–7 e –2
S = –7 + (–2) = –9
P = –7 * (–2) = 14


Veja que o par de números em que a soma resulta em –9 e o produto em 14 é (–2, –7). Portanto as raízes da equação x² + 9x + 14 = 0 possui como resultado o par ordenado, os números –2 e –7.

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática

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78 comentários

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  • terça-feira | 08/07/2014 | claudio missula
    Usuário

    e se nos derem simples,entes os numero ou as raizes, como fizemos para formar a equacao do segundo grau???

  • segunda-feira | 16/06/2014 | Lídia...
    Usuário

    Adorei a sua explicação....Parabéns!!sucesso

  • quinta-feira | 05/06/2014 | vitor
    Usuário

    oi, queria saber se o "soma e produto" tem alguma restrição, pois tentei usa-lo em um exercicio e nao sei, se eu me enganei, ou se nao pode fazer "soma e produto" com valores mais baixos, por exemplo o x^2-2x+3.

  • sexta-feira | 06/06/2014 | Amanda Gonçalve...
    1 0

    Olá Vitor, a soma e o produto de raízes podem ser utilizadas em qualquer equação do 2° grau. O Produto das raízes de x² - 2x + 3 = 0 ficará: P = c/a = 3/1 = 3 e a Soma ficará S = -b/a = -(-2)/1 = 2.