Whatsapp icon Whatsapp

Retas perpendiculares

Retas perpendiculares são duas retas que formam um ângulo reto. É possível determinar se duas retas são ou não perpendiculares a partir de seus gráficos ou equações.
Duas retas perpendiculares
As retas r e s são perpendiculares.

Retas perpendiculares são duas retas cujo ângulo entre elas mede 90°. Se r e s são retas perpendiculares, então escrevemos \(r⊥s\). Podemos identificar duas retas perpendiculares a partir de suas equações reduzidas, que apresentam o formato \(y=mx+n\). Se \(m_r\) é o coeficiente angular de r e \(m_s\) é o coeficiente angular de s, então \(m_r⋅m_s=-1\).

Leia também: Plano cartesiano — para que serve e como se faz

Resumo sobre retas perpendiculares

  • Duas retas são perpendiculares se o ângulo entre elas é reto, ou seja, mede 90°.

  • Escrevemos \(r⊥s\) para denotar que r é perpendicular a s.

  • Se r e s são retas perpendiculares, então vale a seguinte relação entre os coeficientes angulares de r \((m_r)\) e de s \((m_s)\):

\(m_r=-\frac{1}{m_s }\)

  • Se r e s são retas perpendiculares, \(a_r x+b_r y=c_r\) é a equação geral da reta r, e \(a_s x+b_s y=c_s \) é a equação geral da reta s, então

\(a_r⋅a_s+b_r⋅b_s=0\)

Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;)

O que são retas perpendiculares?

Considere que as retas r e s estão contidas em um mesmo plano e se cruzam, ou seja, são concorrentes. Dizemos que r e s são perpendiculares se o ângulo entre elas é 90°. Notação: \(r⊥s\) (lê-se “r é perpendicular a s”). Na representação gráfica, o ângulo reto é indicado por um pequeno quadrado.

Ângulo reto entre duas retas perpendiculares.
Ângulo reto entre duas retas perpendiculares.

Quais são as propriedades das retas perpendiculares?

  • Propriedade 1: Como as retas perpendiculares são um caso particular de retas concorrentes, então por duas retas perpendiculares passa um único plano. Em outras palavras, dadas duas retas perpendiculares, existe apenas um plano que as contém.

  • Propriedade 2: Suponha que r, s e t são retas tais que r é perpendicular a s, e r é perpendicular a t. Então, s e t são retas paralelas, ou seja, são retas que não possuem pontos em comum.

Retas perpendiculares e paralelas.

Coeficiente angular de retas perpendiculares

Considere \(y_r=m_r⋅x+n_r\) a equação reduzida da reta r e \(y_s=m_s⋅x+n_s\) a equação reduzida da reta s. Assim, mr e ms são os coeficientes angulares das retas r e s, respectivamente.

Analisando a relação entre \(m_r\) e \(m_r\), podemos determinar se as retas r e s são perpendiculares ou não. Se r e s são retas perpendiculares, então

\(m_r=-\frac{1}{m_s }\)

Ou, de forma equivalente,

\(m_r⋅m_s=-1\)

Veja também: Como calcular a distância entre dois pontos

Como identificar duas retas perpendiculares entre si?

Vejamos como identificar duas retas perpendiculares entre si a partir de suas equações reduzidas.

Exemplo 1:

As retas \(r: y=x-3\) e \(s: y=-x + 7\) são perpendiculares?

Note que \(m_r=1\) e \(m_s=-1\) e

\(m_r⋅m_s=1⋅(-1)=-1\)

Portanto, as retas r e s são perpendiculares.

Exemplo 2:

As retas \(r: y=3x-7\) e \( s: -6x+47 \) são perpendiculares?

Observe que \(m_r=3\) e \(m_s=-6\) e

\(m_r⋅m_s=3⋅(-6)=-18\)

Portanto, as retas r e s não são perpendiculares.

Método prático para identificar retas perpendiculares

Outro modo de identificar se duas retas são perpendiculares entre si é verificar a relação entre os coeficientes das equações gerais. Considere \(a_r x+b_r y=c_r\) a equação geral da reta r e \(a_s x+b_s y=c_s\) a equação geral da reta s. Se r e s são retas perpendiculares, então

\(a_r⋅a_s+b_r⋅b_s=0\)

Exemplo:

As retas \( r: 5x+2y=14 \) e \(s: -2x+5y=-43\) são perpendiculares?

Perceba que \( a_r=5\), \(a_s=-2\), \(b_r=2 \) e \(b_s=5\) e

\(a_r⋅a_s+b_r⋅b_s=5⋅(-2)+2⋅5 = -10 + 10=0\)

Portanto, as retas r e s são perpendiculares.

Saiba mais: Retas paralelas cortadas por uma transversal — ângulos e propriedades

Posições relativas entre retas

Considere que as retas r e s são distintas e estão contidas em um mesmo plano. Assim, r e s podem ser retas concorrentes ou paralelas.

  • Retas concorrentes: r e s são concorrentes se possuem um ponto de intersecção. Se o ângulo entre r e s é 90°, as retas são perpendiculares.

  • Retas paralelas: r e s são paralelas se não possuem nenhum ponto em comum.

Observação: duas retas que possuem todos os pontos em comum são chamadas de paralelas coincidentes ou apenas coincidentes.

Exercícios resolvidos sobre retas perpendiculares

Questão 1

Qual deve ser o valor de k para que as retas \(r:y=2x-2\) e \(s:y=kx+3 \) sejam perpendiculares?

a) \(-\frac{1}2\)

b) \(-\frac{1}3\)

c) 1

d) 13

e) 12

Resolução

Note que k é o coeficiente angular da reta s e 2 é o coeficiente angular da reta r. Assim, para que r e s sejam perpendiculares,

\(m_s=-\frac{1}{m_r }\)

\(k=-\frac{1}2\)

Alternativa A.

Questão 2

(Ufam – adaptado) Considere as retas \(r: -x+2y=10\) e \(s:2x+y=5\). É correto afirmar que

a) as retas são paralelas.

b) as retas são perpendiculares.

c) as retas são concorrentes no ponto (5,0).

d) as retas são concorrentes no ponto (-10,0).

e) as retas são coincidentes.

Resolução

Note que o problema informa as equações gerais das retas r e s, em que \(a_r=-1\), \(a_s=2\), \(b_r=2 \) e \(b_s=1\). Assim,

\(a_r⋅a_s+b_r⋅b_s=(-1)⋅2+2⋅1=-2+2=0\)

Logo, r e s são retas perpendiculares.

Alternativa B.

Fontes

LIMA, E. L. Geometria Analítica e Álgebra Linear. Rio de Janeiro: IMPA, 2014.

REZENDE, E.Q.F.; QUEIROZ, M. L. B. de. Geometria Euclidiana Plana: e construções geométricas. 2ª ed. Campinas: Unicamp, 2008.

Publicado por Maria Luiza Alves Rizzo

Artigos Relacionados

Cálculo do coeficiente angular
ângulo, reta, condição de existência da reta, pontos, plano cartesiano, tangente, inclinação da reta, como encontrar a inclinação da reta, coeficiente angular, tangente do ângulo, cálculo do coeficiente angular.
Equação reduzida da reta
Conheça a equação reduzida da reta, aprenda a encontrá-la, bem como entenda o que é o coeficiente linear e o que é o coeficiente angular.
Geometria Analítica
Você sabe o que se estuda na Geometria Analítica? Acesse o link para conhecer os principais conceitos e fórmulas da Geometria Analítica e suas aplicações.
Noções primitivas de Geometria: ponto, reta, plano e espaço
Clique para saber mais sobre as noções primitivas de Geometria (reta, ponto, plano e espaço), além de conhecer suas propriedades.
Plano cartesiano
Conheça o que é o plano cartesiano e qual a sua função. Saiba também como montar e marcar pontos nele.
Posições relativas de duas retas
Retas, retas paralelas, retas concorrentes, o que são retas paralelas, o que são retas concorrentes, Posições relativas de duas retas, coeficiente angular de retas paralelas, coeficiente angular de retas concorrentes.
Retas
Confira as principais ideias que envolvem retas e algumas propriedades básicas dessa figura geométrica!
Retas paralelas
Aprenda o que são retas paralelas e a relação entre retas paralelas cortadas por uma transversal. Veja também como o teorema de Tales se aplica nesses casos.
Retas paralelas cortadas por uma transversal
Conheça as retas paralelas cortadas por uma transversal e aprenda a calcular o valor dos ângulos nessa situação. Resolva também os exercícios propostos sobre o tema.
Ângulos
Clique para aprender o que são ângulos, como medi-los e algumas características dos ângulos notáveis.
video icon
Texto "Matemática do Zero | Ângulo e construção usando transferidor" em fundo azul.
Matemática do Zero
Matemática do Zero | Ângulo e construção usando transferidor
Nessa aula veremos o que é ângulo, como construir um ângulo utilizando um transferidor, como transformar de ângulo para radiano e ângulo para minutos ou segundos.

Outras matérias

Biologia
Matemática
Geografia
Física
Vídeos
video icon
Pessoa com as pernas na água
Saúde e bem-estar
Leptospirose
Foco de enchentes pode causar a doença. Assista à videoaula e entenda!
video icon
fone de ouvido, bandeira do reino unido e caderno escrito "ingles"
Gramática
Inglês
Que tal conhecer os três verbos mais usados na língua inglesa?
video icon
três dedos levantados
Matemática
Regra de três
Com essa aula você revisará tudo sobre a regra de três simples.