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Progressão Aritmética

Progressão aritmética é um tipo de seqüência numérica que a partir do segundo elemento cada termo (elemento) é a soma do seu antecessor por uma constante.

(5,7,9,11,13,15,17) essa seqüência é uma Progressão aritmética, pois os seus elementos são formados pela soma do seu antecessor com a constante 2.
a1 = 5
a2 = 5 + 2 = 7
a3 = 7 + 2 = 9
a4 = 9 + 2 = 11
a5 = 11 + 2 = 13
a6 = 13 + 2 = 15
a7 = 15 + 2 = 17

Essa constante é chamada de razão e representada por r. Dependendo do valor de r a progressão aritmética pode ser crescente, constante ou decrescente.

P.A crescente: r > 0, então os elementos estarão em ordem crescente.

P.A constate: r = 0, então os elementos serão todos iguais.

P.A decrescente: r < 0, então os elementos estarão em ordem decrescente.

Termo Geral de uma P.A

Considere uma P.A finita qualquer (a1, a2, a3, a4, ... , an) de razão igual a r, sabemos que:

a2 – a1 = r → a2 = a1 + r
a3 – a2 = r → a3 – a1 – r = r → a3 = a1 + 2r
a4 – a3 = r → a4 – a1 – 2r = r → a4 = a1 + 3r


a n = a1 + (n – 1) . r

Portanto o termo geral de uma P.A é calculado utilizando a seguinte fórmula:

a n = a1 + (n – 1) . r

Exemplo 1:
Calcule o 16º termo de uma P.A, sabendo que a1 = -10 e r = 3.

an = a1 + (n – 1) . r
a16 = -10 + (16 – 1) . 3
a16 = -10 + 15 . 3
a16 = -10 + 45
a16 = 35

O 16º termo de uma P.A é 35.

Soma dos termos de uma P.A finita

Se tivermos uma P.A finita qualquer, para somarmos os seus termos (elementos) chegaremos à seguinte fórmula para somarmos os n elementos de uma P.A finita.

Sn = (a1 + an) . n
                    2

Exemplo 2:

Determine uma P.A sabendo que a soma de seus 8 primeiros termos é 324 e que
a 8 = 79.

Retirando os dados:
n = 8
Sn = 324
a 8 = 79

Sn = (a1 + an) . n
                2

324 = (a1 + 79) . 8
                     2

324 . 2 = 8 a1 + 79 . 8
648 = 8 a1 + 632
16 = 8 a1
a1 = 2

Precisamos encontrar o valor de r (razão) para encontrar o valor dos outros elementos.

a n = a1 + (n – 1) . r
79 = 2 + (8 – 1) . r
79 = 2 + 7 . r
79 – 2 = 7r
77 = r
 7
r = 11

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90 comentários

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  • quarta-feira | 05/11/2014 | Débora
    Usuário

    No exemplo 2, o a1=-2 em vez de ser a1=2,pois vai passar pro segundo termo negativo!?

  • quarta-feira | 05/11/2014 | Amanda Gonçalves
    0 0

    Olá Débora! A resolução está correta. Observe que no fim do exemplo 2 temos a seguinte equação: 16 = 8. a1 . Para resolvê-la devemos passar o "8" para o primeiro lado da equação dividindo e teremos " 16/8 = a1" o que equivale a " 2 = a1", e isto é o mesmo que escrevermos "a1 = 2". Em nenhum destes passos da equação é necessário haver alteração de sinal.

  • terça-feira | 28/10/2014 | Sabrina Brandao
    Usuário

    Da maneira simples como eh explicado, entendi muito melhor assim, facilita o entendimento do assunto.. Obrigada!

  • quarta-feira | 06/08/2014 | lucas
    Usuário

    Muito bom. Me ajudou bastante