Mínimo múltiplo comum (MMC)

O mínimo múltiplo comum (MMC) entre um grupo de números naturais é o menor múltiplo comum a eles. Essa ferramenta matemática é normalmente utilizada em operações de adição e subtração entre frações, associada a outros conceitos como frações equivalentes. 

Leia também: Múltiplos e divisores — o que esses conceitos matemáticos significam?

Resumo sobre MMC

• MMC (a,b) é o menor múltiplo comum aos números a e b.

• Podemos calcular o MMC de dois (ou mais) números naturais de duas formas: enumerar os múltiplos de cada natural e apontar o menor múltiplo em comum ou decompor os naturais em fatores primos.

• O MMC pode ser aplicado na adição e subtração de frações com denominadores diferentes.

• MMC é a sigla para mínimo múltiplo comum, enquanto MDC é a sigla para máximo divisor comum.

• O MDC (a,b) é o maior divisor comum aos números a e b.

O que é MMC?

MMC significa mínimo múltiplo comum. Encontrar o MMC entre dois ou mais números significa encontrar o menor múltiplo a todos. Lembrando que os múltiplos de um número são os valores obtidos pela multiplicação entre esse número e um inteiro.

Exemplo:

Qual o MMC de 3 e 4?

Resolução:

Vamos listar alguns múltiplos de ambos e identificar os elementos em comum. Podemos representar os múltiplos positivos de 3 por M (3) e os múltiplos de 4 por M (4).

M (3) = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, ...}

M (4) = {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, ...}

Observe que tanto o número 12 como o número 24 são múltiplos positivos de 3 e 4. Poderíamos continuar as listas e encontrar outros múltiplos comuns, como 36, 48, 60 e assim por diante. Visto que 12 é o menor desses múltiplos, então 12 é o mínimo múltiplo comum de 3 e 4. Em notação matemática, escrevemos MMC (3,4) = 12.

Como se calcula o MMC?

Podemos calcular o MMC entre dois ou mais naturais de duas maneiras. Vejamos as duas a seguir.

→ Listagem dos múltiplos

Podemos calcular o MMC entre dois ou mais naturais listando os múltiplos de todos e apontando o menor. Apesar de mais simples, essa técnica pode ser muito trabalhosa no caso de números muito grandes ou do cálculo do MMC de três ou mais naturais.

Exemplo:

Qual o MMC de 15 e 25?

Resolução:

Vamos listar alguns múltiplos de ambos e identificar os elementos em comum:

M (15) = {15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, 150...}

M (25) = {25, 50, 75, 100, 125, 150, ...}

Perceba que 75 e 150 são, ao mesmo tempo, múltiplos 15 e 25. Poderíamos continuar as duas listas e obter outros múltiplos. Como buscamos o menor múltiplo em comum, então a resposta é 75. Em notação matemática, MMC (15, 25) = 75.

→ Fatoração dos números

Podemos calcular o MMC entre dois ou mais naturais realizando a fatoração dos naturais envolvidos, de maneira individual ou simultânea

Exemplo de fatoração individual:

Qual o MMC de 75 e 84?

Resolução:

Vamos decompor em fatores primos os dois números:

75 = 3 x 5²

84 = 2² x 3 x 7

Isso significa que um múltiplo de 75 deve possuir, pelo menos, os fatores 3 e 5². Ainda, um múltiplo de 84 deve possuir, pelo menos, os fatores 2², 3 e 7.

Portanto, um número que é simultaneamente múltiplo de 75 e 84 deve possuir, pelo menos, os fatores 2², 3, 5² e 7. O menor exemplo e consequentemente o MMC entre 75 e 84 é 2² x 3 x 5² x 7 = 2100. Em notação matemática, MMC (75,84) = 2100.

Exemplo de fatoração simultânea:

Qual o MMC de 75 e 84?

Resolução:

Outra possibilidade é realizar essa fatoração de maneira simultânea, decompondo 75 e 84 em fatores primos:

Multiplicamos os fatores primos encontrados, obtemos o mínimo múltiplo comum entre 75 e 8: 2² x 3 x 5² x 7 = 2100.

Quais são as propriedades do MMC?

• Propriedade 1:

O MMC de dois ou mais números primos é igual ao produto entre eles.

Exemplo:

Determine o MMC de 2, 3 e 5.

Resolução:

Como 2, 3 e 5 são números primos, podemos utilizar a propriedade: MMC (2, 3, 5) = 2 x 3 x 5 = 30.

• Propriedade 2:

O MMC de dois ou mais números em que o(s) maior(es) é/são múltiplo(s) do(s) menor(es) é o maior.

Exemplo:

Qual o MMC entre 8 e 64?

Resolução:

Perceba que 64 é múltiplo de 8. Portanto, podemos utilizar a propriedade: MMC (8, 64) = 64.

• Propriedade 3:

Qualquer múltiplo do MMC de dois ou mais números também será múltiplo desses números.

Exemplo:

Qual o MMC entre 2, 3 e 5?

Resolução:

O MMC de 2, 3 e 5 é 30. O número 90, por exemplo, é múltiplo de 30. Assim, pela propriedade, 90 também é múltiplo de 2, 3 e 5. Observe que isso é verdade, pois:

90 = 2 x 45

90 = 3 x 30

90 = 5 x 18

O produto do MMC pelo MDC de dois números é igual ao produto entre esses números. Em notação matemática, considerando a e b naturais:

MMC (a, b) x MDC (a, b) = a x b

Mínimo múltiplo comum e frações

Uma das aplicações para o mínimo múltiplo comum é auxiliar na resolução de adição e subtração de frações com denominadores diferentes. O MMC pode ser utilizado para encontrar frações equivalentes de modo a igualar os denominadores das frações dadas.

Exemplo:

Quanto é \(\frac{1}2 + \frac{ 5}7\) = ?

Resolução:

Observe que as frações envolvidas possuem denominadores diferentes: 2 e 7. Ao encontrar o MMC de 2 e 7, podemos transformar as frações  \(\frac{1}2\) e \(\frac{5}7\) em frações com o mesmo denominador, facilitando o cálculo de adição.

Perceba que 2 e 7 são números primos. Portanto, o MMC de ambos é igual ao produto entre eles: 14. (Caso você não se lembre dessa propriedade, é possível listar os múltiplos de 2 e 7 até encontrar o 14). Em notação matemática, MMC (2,7) = 14.

Agora, podemos encontrar frações equivalentes a \(\frac{1}2\) e \(\frac{5}7\) com denominador 14:

Portanto,

\(\frac{1}2 + \frac{ 5}7 = \frac{7}{14} + \frac{ 10}{14} = \frac{7 + 10}{14} = \frac{17}{14}\)

Saiba mais: Operações com frações — como fazer?

Quais as diferenças entre MMC e MDC?

Apesar de muitas vezes estudados em sequência, suas definições são bem diferentes:

• Mínimo múltiplo comum (MMC): consiste no menor múltiplo comum entre 2 ou mais naturais.

• Máximo divisor comum (MDC): consiste no maior divisor comum entre 2 ou mais naturais.

Exercícios resolvidos sobre MMC

Questão 1

Determine o que se pede:

A) MMC (5, 10000).

B) MMC (13, 29).

Resolução:

A) Observe que 10000 é múltiplo de 5, pois termina em 0. Assim, pela propriedade de MMC, MMC (5, 10000) = 10000.

B) Perceba que 13 e 29 são números primos. Assim, pela propriedade de MMC, MMC (13, 29) = 13 ‧ 29 = 377.

Questão 2

Utilizando frações equivalentes e MMC, calcule as operações com frações:

A) \(\frac{15}{40} - \frac{1}4\)

B) \(\frac{6}{5} - \frac{1}2 \)

Resolução:

A) Como 40 é múltiplo de 4, MMC (40,4) = 40. Assim, podemos encontrar uma fração equivalente a \(\frac{1}4\) com denominador igual a 40. Multiplicando o numerador e denominador por 10, temos:

\(\frac{1}{4} =\frac{10}{40}\)

Substituindo a fração equivalente na operação original, concluímos que:

\(\frac{15}{40} - \frac{1}4 = \frac{15}{40} - \frac{10}{40} = \frac{5}{40} \)

B) Como 5 e 2 são números primos, MMC (5, 2) = 5 ‧ 2 = 10. Assim, podemos encontrar frações equivalentes a \(\frac{6}5\) e \(\frac{1}2\) com denominadores iguais a 10:

\(\frac{6}5 = \frac{12}{10}\)

\(\frac{1}{2} = \frac{5}{10}\)

Substituindo as frações equivalentes na operação original, concluímos que:

\(\frac{6}5 - \frac{1}2 = \frac{12}{10} - \frac{ 5}{10} = \frac{7}{10}\)