Matriz simétrica

Conhecemoscomo matriz simétrica a matriz A que possui matriz transposta, \(A^t\) , igual à própria matriz A, ou seja, uma matriz que é igual a sua matriz transposta, A =A^t. Para tanto, é necessário que ela seja quadrada e que os termos a_ij sejam iguais aos termos a_ji.

Ao observar a matriz se traçarmos um eixo em sua diagonal, podemos perceber se ela é simétrica ou não. Existe também a matriz antissimétrica, quando a matriz transposta é igual à matriz oposta, ou seja, A^t = -A.

Leia também: O que é uma matriz inversa?

Resumo sobre matriz simétrica

• Uma matriz é dita simétrica se ela for igual a sua transposta:

\(A=A^t\)

• O eixo de simetria da matriz simétrica é a diagonal principal.
• Existe também a matriz antissimétrica, quando a matriz transposta é igual à matriz oposta:

\(A^t=-A\)

• Existem algumas propriedades da matriz simétrica, são elas:

• Para todos os temos da matriz, temos que a_ij = a_ji.
• As colunas e linhas da matriz A são iguais às colunas e linhas da matriz A^t.

O que é uma matriz simétrica?

Chamamos de matriz simétrica toda matriz cuja matriz transposta é igual à própria matriz, ou seja, A = A^t. Para compreender o que é uma matriz simétrica, é importante revermos o que é uma matriz transposta.

• Matriz transposta: quando invertemos as linhas e colunas de uma matriz, ou seja, dada a matriz A, a matriz transposta de A, representada por A^t, terá em sua primeira coluna a primeira linha da matriz A; já a segunda coluna da matriz transposta será a segunda linha da matriz A, e assim sucessivamente.

Exemplo:

\(A=\left(\begin{matrix}1&2\\3&4\\5&6\\\end{matrix}\right)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ A^t=\left(\begin{matrix}1&3&5\\2&4&6\\\end{matrix}\right)\)

• Matriz simétrica: sabendo o que é uma matriz transposta, dada a matriz A, quando calculamos a matriz transposta de A e encontramos a própria matriz A, ou seja, A = A^t, então essa matriz é simétrica.

Exemplo:

\(A=\left[\begin{matrix}1&-2&4\\-2&2&0\\4&0&3\\\end{matrix}\right]\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ A^t=\left[\begin{matrix}1&-2&4\\-2&2&0\\4&0&3\\\end{matrix}\right]\)

Podemos afirmar que a matriz A é simétrica, pois A = A^t.

Propriedades da matriz simétrica

• A matriz simétrica é sempre uma matriz quadrada, pois somente nesta é que o número de linhas é igual ao número de colunas, logo, a matriz transposta também terá a mesmo forma.
• Em uma matriz simétrica, os termos a_ij são iguais aos termos a_ji.

a₁₂ = a₂₁ = b

a₁₃ = a₃₁ = c

a₃₂ = a₂₃ = d

• Em uma matriz simétrica, as linhas e as colunas são respectivamente iguais.

Note que a primeira linha da matriz A é igual à primeira linha, também a primeira coluna da sua matriz transposta, o mesmo acontece com a segunda linha e com a terceira linha.

Leia também: Matriz triangular — um caso especial de matriz quadrada

Diferenças entre a matriz simétrica e a matriz antissimétrica

Além da matriz simétrica, existe a matriz antissimétrica. Uma matriz é asim quando a sua transposta for igual à matriz oposta, ou seja, dada a matriz A, a matriz A é antissimétrica se A^t= -A

Exemplo:

\(A\ =\ \left[\begin{matrix}0&-3&2\\3&0&-1\\-2&1&0\\\end{matrix}\right]\)

Calculando a matriz transposta de A, temos que:

\(A^t=\left[\begin{matrix}0&3&-2\\-3&0&1\\2&-1&0\\\end{matrix}\right]\)

Perceba que a matriz transposta de A, ou seja, \(A^t\), é igual à matriz oposta de A, pois note que é como se tivéssemos multiplicado a matriz A por -1. Então temos que:

\(A^t=\left[\begin{matrix}0&3&-2\\-3&0&1\\2&-1&0\\\end{matrix}\right]=-A\ \) 

Exercícios resolvidos sobre matriz simétrica

Questão 1

A matriz M a seguir é simétrica, então o valor de x + y + z é:

\(M\ =\ \left[\begin{matrix}1&2&-4\\x&3&z\\y&7&0\\\end{matrix}\right]\)

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

Resolução:

Alternativa E

Como a matriz é simétrica, sabemos a_ij = a_ji, então temos que:

a₁₂ = a₂₁

x = 2

a₁₃ = a₃₁

-4 = y

y= -4

a₂₃ = a₃₂

7 = z

z = 7

Assim, x + y + z = 2 + (-4) + 7 = 5

Questão 2

Analise a matriz a seguir:

\(A=\ \left[\begin{matrix}0&2\\-2&0\\\end{matrix}\right]\)

Podemos afirmar que:

I. A matriz é simétrica.

II. A matriz é antissimétrica.

Marque a alternativa correta:

A) Somente a I é verdadeira.

B) Somente a II é verdadeira.

C) Ambas são verdadeiras.

D) Ambas são falsas.

Resolução:

Alternativa B

Quando calculamos a matriz transposta de A, temos que:

\(A^t=\left[\begin{matrix}0&-2\\2&0\\\end{matrix}\right]\)

Note que a transposta de A não é igual à matriz A, logo, a afirmativa I é falsa.

Por outro lado, perceba que \(A^t=-A\) , então essa matriz é antissimétrica, logo, a afirmativa II é verdadeira.

Portanto, somente a II é verdadeira.