Matriz

A matriz é uma representação de dados, geralmente numéricos, divididos por linhas e colunas. Uma matriz é representada da forma \(A_{mxn}\). Assim, temos a matriz A, que possui m linhas e n colunas. A matriz \(M_{3x2}\), por exemplo, possui três linhas e duas colunas. A matriz contém termos representados por \(a_{ij}\), em que i é a linha que o termo ocupa e j é a coluna que o termo ocupa.

Existem casos especiais de matriz, como a matriz linha, a matriz coluna, a matriz quadrada, a matriz oposta e a matriz identidade. Podemos realizar operações importantes com as matrizes, como adição, subtração e multiplicação. Na informática, matrizes são essenciais para o desenvolvimento da programação. A matriz é utilizada para facilitar o trabalho com dados numéricos, separando determinadas informações de tabelas por linhas e colunas.

Saiba mais: Regra de Cramer — método de resolução de um sistema linear utilizando o determinante das matrizes

Resumo sobre matriz

• A matriz é uma maneira de representar dados dividindo-os em linhas e colunas.

• É representada por letras maiúsculas do alfabeto, como A, B, C, D.

• O índice que vem imediatamente após a letra diz a quantidade de linhas e de colunas que a matriz possui.

• Uma matriz é representada na forma \(A_{mxn}\).

• Existem casos especiais de matrizes que são classificados de acordo com a característica da matriz, como a matriz linha, a matriz coluna, a matriz quadrada, a matriz nula e a matriz identidade.

• Podemos realizar a adição, a subtração e a multiplicação de matrizes.

Representação da matriz

Para representar uma matriz, é importante entendermos sua notação. Uma matriz é representada por letras maiúsculas seguidas do índice da matriz.

\(A_{mxn}\)

• A → representação da matriz, que nesse caso é matriz A

• m → número de linhas da matriz A

• n → número de colunas da matriz A

Vejamos alguns exemplos a seguir para compreendermos melhor o assunto.

• Exemplo 1:

\(A=\left[\begin{matrix}2&-1&8\\-3&4&1\\\end{matrix}\right]\)

Essa é uma matriz 2x3, pois possui 2 linhas e 3 colunas. Logo, podemos dizer que ela é a matriz \(A_{2x3}\) ou então que essa é uma matriz de ordem 2 por 3.

• Exemplo 2:

\(B=\ \left(\begin{matrix}4&-6\\-2&1\\0&5\\\end{matrix}\right)\)

Essa é uma matriz 3x2, pois ela possui 3 linhas e 2 colunas. Logo, podemos dizer que essa é a matriz \(B_{3x2}\).

Importante: Observe que a matriz pode ter os seus dados tanto entre colchetes quanto entre parênteses.

Quais são os elementos da matriz?

Os elementos da matriz são conhecidos também como termos da matriz. Para representar seus elementos, utilizamos letras minúsculas seguidas do índice que representa a posição da matriz. Na notação \(a_{ij}\), i é a linha e j é a coluna.

O termo \(a_{11}\), por exemplo, é o termo que ocupa a primeira linha e a primeira coluna da matriz A. O termo \(b_{34} \) é o elemento que ocupa a terceira linha e quarta coluna da matriz B. Podemos fazer a representação da matriz de forma algébrica, levando em consideração esses temos.

• Exemplo:

Representando de forma algébrica a matriz \(A_{3x4}\):

\(A\ =\ \left[\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\\end{matrix}\right]\)

Como calcular uma matriz?

A matriz, em alguns casos, pode possuir uma lei de formação, que é uma fórmula que relaciona o valor do termo à sua posição.

• Exemplo:

Dada a matriz \(A_{3x2}\), com lei de formação \(a_{ij}=2i+3j-1\), encontre a matriz A:

Resolução:
De início, representaremos essa matriz de forma algébrica:

\(A\ =\ \left[\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\\\end{matrix}\right]\)

Agora, encontraremos cada um dos seus termos utilizando a lei de formação, substituindo nela o valor de i e o valor de j pela linha e pela coluna à qual o termo pertence.

\(a_{ij}=2i+3j-1\)

\(a_{11}=2\cdot1+3\cdot1=2+3-1=\ 4\)

\(a_{12}=2\cdot1+3\cdot2-1=2+6-1=7\)

\(a_{21}=2\cdot2+3\cdot1-1=4+3-1=6\)

\(a_{22}=2\cdot2+3\cdot2-1=4+6-1=9\)

\(a_{31}=2\cdot3+3\cdot1-1=6+3-1=8\)

\(a_{32}=2\cdot3+3\cdot2-1=6+6-1=11\)

Então, a matriz A é:

\(A\ =\left[\begin{matrix}4&7\\6&9\\8&11\\\end{matrix}\right]\ \)

Importante: Vale lembrar que esse é um exemplo de lei de formação, e qualquer expressão que relacione i e j pode ser a lei de formação dos elementos da matriz.

Saiba também: Regra de Sarrus — um método para calcular o determinante de matrizes de ordem 2 e de ordem 3

Tipos de matriz

Existem tipos especiais de matriz. Veja abaixo os principais deles.

➝ Matriz linha

A matriz linha possui somente uma linha.

• Exemplos:

\(A\ =\ \left[\ 2\ \ \ 1\ \ \ 4\ \ -5\ \right]\)

\(B\ =\ [\ 10\ \ \ 0\ \ \ 4\ \ 1\ \ 12]\)

➝ Matriz coluna

A matriz coluna possui somente uma coluna.

• Exemplos:

\(A\ =\ \left[\begin{matrix}1\\2\\3\\\end{matrix}\right]\)

\(B\ =\ \left[\begin{matrix}-2\\4\\12\\16\\\end{matrix}\right]\)

➝ Matriz quadrada

A matriz quadrada possui o número de linhas igual ao número de colunas.

• Exemplos:

\(A\ =\ \left[\begin{matrix}-1&2\\1&-2\\\end{matrix}\right]\)

\(B\ =\ \left(\begin{matrix}1&-3&4\\-7&1&2\\-5&3&1\\\end{matrix}\right)\)

➝ Matriz nula

Como o nome sugere, a matriz nula possui todos os elementos iguais a zero.

• Exemplos:

\(O\ =\ \left(\begin{matrix}0&0\\0&0\\\end{matrix}\right)\)

\(O\ =\ \left[\begin{matrix}0&0\\0&0\\0&0\\\end{matrix}\right]\)

➝ Matriz identidade

A matriz identidade é a matriz quadrada em que:

• Exemplos:

\(I\ =\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\\\end{matrix}\right)\)

\(I\ =\left[\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{matrix}\right]\ \)

➝ Videoaula sobre os tipos de matrizes

Operações com matriz

➝ Adição de matrizes

Para somar duas matrizes, é necessário que elas sejam de mesma ordem. A adição de duas matrizes é feita termo a termo, ou seja, em elementos que possuem as mesmas posições de linha e de coluna.

\(A\ =\ \left[\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{matrix}\right]\)  e \(B\ =\ \left[\begin{matrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\\\end{matrix}\right]\)

A soma A + B será a matriz:

\(A\ +\ B\ =\ \left[\begin{matrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}\\\end{matrix}\right]\)

• Exemplo:

 Calcule a soma das matrizes A e B a seguir:

\(A\ =\ \left[\begin{matrix}6&7\\5&1\\\end{matrix}\right]\) e \(B\ =\ \left[\begin{matrix}1&2\\3&4\\\end{matrix}\right]\)

Resolução:

\(A+\ B\ =\ \left[\begin{matrix}6+1&7+2\\5+3&1+4\\\end{matrix}\right]\)

\(A\ +\ B\ =\left[\begin{matrix}7&9\\8&5\\\end{matrix}\right]\ \)

➝ Subtração de matrizes

Na subtração de matrizes, o método é análogo ao da adição. Para subtrair duas matrizes, é necessário que elas sejam de mesma ordem, e a subtração é feita termo a termo.

\(A\ =\ \left[\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{matrix}\right]\) e \(B\ =\ \left[\begin{matrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\\\end{matrix}\right]\)

A subtração A – B resulta na matriz:

\(A\ -\ B\ =\ \left[\begin{matrix}a_{11}-b_{11}&a_{12}-b_{12}\\a_{21}-b_{21}&a_{22}-b_{22}\\\end{matrix}\right]\)

• Exemplo:

Dada as matrizes A e B a seguir, calcule A – B.

\(A\ =\ \left[\begin{matrix}6&7\\3&2\\5&-1\\\end{matrix}\right]\) e \(B\ =\ \left[\begin{matrix}4&3\\-2&0\\8&4\\\end{matrix}\right]\)

Resolução:

\(A\ -\ B\ =\ \left[\begin{matrix}2&4\\5&2\\-3&-\ 5\ \\\end{matrix}\right]\)

➝ Multiplicação da matriz por um número real

Dada a matriz A e o número real n, a multiplicação de A por n é igual à multiplicação de todos os elementos da matriz A por n.

\(n\cdot A\ =\ \left[\begin{matrix}n\cdot a_{11}&n{\cdot a}_{12}\\n\cdot a_{21}&n\cdot a_{22}\\\end{matrix}\right]\)

• Exemplo:

Dada a matriz A a seguir, calcule o valor de 2A.

\(A\ =\ \left[\begin{matrix}2&4\\3&5\\\end{matrix}\right]\)

Resolução:

Calculando 2A:

\(2\cdot A\ =\ \left[\begin{matrix}2\cdot2&2\cdot\ 4\\2\cdot3&2\cdot\ 5\\\end{matrix}\right]\)

\(2\cdot A\ =\ \left[\begin{matrix}4&8\\6&10\\\end{matrix}\right]\)

➝ Multiplicação entre matrizes

Para que a multiplicação entre as matrizes seja possível, o número de linhas da primeira matriz deve ser igual ao número de colunas da segunda matriz, ou seja, a primeira matriz deve possuir m linhas e n colunas e a segunda deve possuir n linhas e p colunas. O produto entre as matrizes \(A_{mxn}\) e \(B_{nxp}\) será a matriz \(C_{mxp}\).

• Exemplo:

Considere as matrizes \(A_{3x2} \) e \(B_{2x3}\). O produto entre as matrizes A e B será a matriz \(C_{3x3}\).

• Cálculo da multiplicação entre matrizes

Vejamos agora como é feita a multiplicação entre as matrizes. Para isso, escreveremos a matriz algébrica A e B.

\(A=\left(\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\\\end{matrix}\right)\) e \(B=\left(\begin{matrix}b_{11}&b_{12}&b_{13}\\b_{21}&b_{22}&b_{23}\\\end{matrix}\right)\)

Para realizar a multiplicação entre as duas matrizes, multiplicaremos a linha da matriz A pela coluna da matriz B e encontraremos uma matriz \(C_{3x3}\).

\(C\ =\ \left(\begin{matrix}\begin{matrix}c_{11}&c_{12}&c_{13}\\c_{21}&c_{22}&c_{23}\\c_{31}&c_{32}&c_{33}\\\end{matrix}\\\end{matrix}\right)\)

Calculando o termo \(c_{11}\), obteremos o produto entre os termos da primeira linha da matriz A e os termos da primeira coluna da matriz B.

\(A\ =\ \left(\begin{matrix}{a}_{\mathbf{11}}&{a}_{\mathbf{12}}\\a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\\\end{matrix}\right)\)   \(B\ =\ \left(\begin{matrix}{b}_{\mathbf{11}}&b_{12}&b_{13}\\{b}_{\mathbf{21}}&b_{22}&b_{23}\\\end{matrix}\right)\)

\(c_{11}=a_{11}\cdot b_{11}+a_{12}\cdot b_{21}\ \)

Repetiremos o processo para encontrar os demais termos da primeira linha da matriz C:

\(A\ =\ \left(\begin{matrix}{a}_{\mathbf{11}}&{a}_{\mathbf{12}}\\a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\\\end{matrix}\right)\)  \(B\ =\ \left(\begin{matrix}b_{11}&{b}_{\mathbf{12}}&b_{13}\\b_{21}&{b}_{\mathbf{22}}&b_{23}\\\end{matrix}\right)\)

\(c_{12}=a_{11}\cdot b_{12}+a_{12}\cdot b_{22}\)

\(A\ =\ \left(\begin{matrix}{a}_{\mathbf{11}}&{a}_{\mathbf{12}}\\a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\\\end{matrix}\right)\)  \(B\ =\ \left(\begin{matrix}b_{11}&b_{12}&{b}_{\mathbf{13}}\\b_{21}&b_{22}&{b}_{\mathbf{23}}\\\end{matrix}\right)\)

\(c_{13}=a_{11}\cdot b_{13}+a_{12}\cdot b_{23}\)

Para encontrar os termos da 2ª e da 3ª linha, repetiremos o mesmo processo. Portanto:

\(c_{21}=a_{21}\cdot b_{11}+a_{22}\cdot b_{21}\)

\(c_{22}=a_{21}\cdot b_{12}+a_{22}\cdot b_{22}\)

\(c_{23}=a_{21}\cdot b_{13}+a_{22}\cdot b_{23}\)

\(c_{31}=a_{31}\cdot b_{11}+a_{32}\cdot b_{21}\)

\(c_{32}=a_{31}\cdot b_{12}+a_{32}\cdot b_{22}\)

\(c_{33}=a_{31}\cdot b_{13}+a_{32}\cdot b_{23}\)

Sendo assim, temos que:

\(C=\ \left(\begin{matrix}\begin{matrix}a_{11}\cdot b_{11}+a_{12}\cdot b_{21}\ &a_{11}\cdot b_{12}+a_{12}\cdot b_{22}&a_{11}\cdot b_{13}+a_{12}\cdot b_{23}\\a_{21}\cdot b_{11}+a_{22}\cdot b_{21}&a_{21}\cdot b_{12}+a_{22}\cdot b_{22}&a_{21}\cdot b_{13}+a_{22}\cdot b_{23}\\a_{31}\cdot b_{11}+a_{32}\cdot b_{21}&a_{31}\cdot b_{12}+a_{32}\cdot b_{22}&a_{31}\cdot b_{13}+a_{32}\cdot b_{23}\\\end{matrix}\\\end{matrix}\right)\)

• Exemplo:

Calcule o produto entre as matrizes A e B a seguir:

\(A\ =\ \left[\begin{matrix}2&1&4\\5&3&0\\\end{matrix}\right]\ B\ =\ \left[\begin{matrix}1&2\\3&4\\-1\ &-\ 2\\\end{matrix}\right]\)

Resolução:

A matriz C será 2x2, já que a matriz A possui 2 linhas e a matriz B possui 2 colunas:

\(c_{11}=2\cdot1+1\cdot3+4\cdot\left(-1\right)=2+3-4=1\)

\(c_{12}=2\cdot2+1\cdot4+4\cdot\left(-2\right)=4+4-8=0\)

\(c_{21}=5\cdot1+3\cdot3+0\cdot\left(-1\right)=5+9+0=14\)

\(c_{22}=5\cdot2+3\cdot4+0\cdot\left(-2\right)=10+12+0=22\)

Portanto, a matriz C será:

\(C\ =\ \left[\begin{matrix}1&0\\14&22\\\end{matrix}\right]\)

Leia também: Teorema de Laplace — um método de cálculo do valor do determinante de matrizes quadradas

Exercícios resolvidos sobre matriz

Questão 1

(Enem 2019) Um professor aplica, durante os cinco dias úteis de uma semana, testes com quatro questões de múltipla escolha a cinco alunos. Os resultados foram representados na matriz.

Nessa matriz os elementos das linhas de 1 a 5 representam as quantidades de questões acertadas pelos alunos Ana, Bruno, Carlos, Denis e Érica, respectivamente, enquanto as colunas de 1 a 5 indicam os dias da semana, de segunda-feira a sexta-feira, respectivamente, em que os testes foram aplicados. O teste que apresentou maior quantidade de acertos foi o aplicado na

A) segunda-feira.

B) terça-feira.

C) quarta-feira.

D) quinta-feira.

E) sexta-feira.

Resolução:

Alternativa A

Realizando a soma dos valores de uma mesma coluna, temos que:

• segunda-feira: 3 + 3 + 2 + 3 + 0 = 11

• terça-feira: 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10

• quarta-feira: 0 + 4 + 2 + 4 + 0 = 10

• quinta-feira: 1 + 1 + 3 + 1 + 4 = 10

• sexta-feira: 2 + 2 + 2 + 0 + 4 = 10

Note que segunda-feira é o dia em que houve a maior quantidade de acertos no teste.

Questão 2

(Enem 2021) Uma construtora, pretendendo investir na construção de imóveis em uma metrópole com cinco grandes regiões, fez uma pesquisa sobre a quantidade de famílias que mudaram de uma região para outra, de modo a determinar qual região foi o destino do maior fluxo de famílias, sem levar em consideração o número de famílias que deixaram a região. Os valores da pesquisa estão dispostos em uma matriz A = [a_ij], i, j ∈ {1,2, 3, 4, 5}, em que o elemento a_ij corresponde ao total de famílias (em dezena) que se mudaram da região i para a região j durante um certo período, e o elemento a_ii considerado nulo, uma vez que somente são consideradas mudanças entre regiões distintas. A seguir, está apresentada a matriz com os dados da pesquisa:

Qual região foi selecionada para o investimento da construtora?

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

Resolução:

Alternativa E

Realizando a soma das colunas, temos que:

• Coluna 1: 0 + 0 + 20 + 10 + 10 = 40

• Coluna 2: 40 + 0 + 20 + 1 + 20 = 80

• Coluna 3: 20 + 60 + 0 + 20 = 100

• Coluna 4: 20 + 20 + 30 + 40 = 100

• Coluna 5: 50 + 30 + 0 + 40 + 0 = 120

Note que a coluna 5 é a que possui maior valor, então ela será a região escolhida.