Whatsapp icon Whatsapp

Equação reduzida da reta

A equação reduzida da reta é a maneira de representar de forma algébrica a reta, sendo possível obter, por meio do estudo da geometria analítica, informações importantes sobre o comportamento da reta quando representada no plano cartesiano.

A equação reduzida da reta é a equação y = mx + n, em que m e n são, respectivamente, os coeficientes angular e linear, e x e y são, respectivamente, a variável independente e dependente. Por meio do valor do coeficiente angular, é possível saber se a reta é crescente, decrescente ou constante. Já o coeficiente linear mostra o ponto em que a reta intercepta o eixo vertical y.

Leia também: Elipse figura muito estudada na geometria plana e na analítica

Qual é a equação reduzida da reta?

Equação reduzida da reta.
Equação reduzida da reta.

No estudo da geometria analítica, é bastante recorrente a representação de figuras geométricas por meio de uma equação. Com a reta não é diferente, e a equação reduzida que descreve a reta é a seguinte:

y = mx + n

m → coeficiente angular

n → coeficiente linear

y → variável dependente

x → variável independente

Vale salientar que m e n são números reais.

Exemplos:

a) y = 2x – 4
m = 2 e n = – 4

b) y = – 3x + 5
m = – 3 e n = 5

A equação da reta nos dá a coleção de pontos que formam a reta no plano cartesiano, sendo possível analisar o gráfico por meio da equação e fazer a sua representação no plano cartesiano. Para entender como encontrar a equação da reta, vamos antes conhecer o significado de cada um dos seus coeficientes e aprender a encontrá-los.

Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;)

Como calcular o coeficiente angular?

O coeficiente angular está ligado à inclinação da reta e o cálculo desse coeficiente pode ser feito de duas maneiras:

  • quando conhecemos a inclinação da reta em relação ao eixo x;

  • quando conhecemos dois pontos pertencentes à reta.

O primeiro método é calcular a tangente do ângulo que a reta faz com o eixo x no sentido anti-horário.

Conhecendo o valor do ângulo α, temos que:

m = tg ɑ

Exemplo:

Encontre o coeficiente angular da reta a seguir:

Como o ângulo é de 45º, então basta calcular a tangente de 45º.

m = tg 45º

m = 1

Mais recorrente que o primeiro caso, no segundo caso encontramos o coeficiente angular da reta conhecendo dois pontos A(x1,y1) e B (x2, y2). Para isso, utilizamos a fórmula a seguir:

Coeficiente angular da reta conhecendo dois pontos.
Coeficiente angular da reta conhecendo dois pontos.

Exemplo:

Encontre o coeficiente angular da reta utilizando os pontos A e B do gráfico a seguir:

Ao analisar a malha quadriculada, é fácil ver que as coordenadas são A(1,1) e B( – 1, 3). Usando esses dois pontos, temos que:

O coeficiente angular traz informações importantes sobre o gráfico da reta. Podemos classificar essa reta como crescente, decrescente ou constante de acordo com o valor do coeficiente angular.

As retas são crescentes, decrescentes e constantes respectivamente.
As retas são crescentes, decrescentes e constantes respectivamente.

Exemplos:

  • y = 2x – 1 → crescente, pois m = 2.

  • y = – x + 5 → decrescente, pois m = – 1.

  • y = 3 → constante, pois m = 0.

Veja também: Qual é a equação geral da circunferência?

Coeficiente linear

Na equação reduzida y = mx + n, conhecemos o n como coeficiente linear. Quando x = 0, o valor de y = n; sendo assim, o coeficiente linear é o ponto em que a reta intercepta o eixo y.

Passo a passo de como calcular a equação reduzida da reta

Para calcular a equação reduzida da reta, é necessário encontrar o valor do coeficiente angular e do coeficiente linear. Para isso, precisamos conhecer dois pontos pertencentes à reta. Veja o passo a passo para encontrar a equação da reta.

  • 1º passo: encontramos o valor do coeficiente angular m.

  • 2º passo: substituir na equação y = mx + n o valor encontrado para m e o valor de x e y pelo valor de um dos dois pontos.

  • 3º passo: resolver a equação para calcular o valor de n.

  • 4º passo: agora que conhecemos o valor de m e n, bastar substituir na equação reduzida y = mx + n para encontrar a equação da reta.

Exemplo:

Encontre a equação da reta que passa pelos pontos A (2,1) e B (4,7).

Primeiro encontramos o coeficiente angular:

Agora que encontramos o coeficiente angular, escolhemos um ponto: por exemplo, o ponto A (2,1). Na equação y = mx + n, vamos substituir os valores do ponto A, ou seja, x = 2 e y = 1, e também o valor encontrado para m, no caso m= 3.

y = mx + n
x = 2 y = 1 e m = 3

1 = 3 · 2 + n
1 = 6 + n
1 – 6 = n
n = – 5

Como conhecemos o valor de m e de n, então a equação reduzida da reta será:

y = mx + n
m = 3 e n = – 5

y = 3x + ( – 5)
y = 3x – 5

Representação gráfica da reta

Para construir o gráfico da reta conhecendo a sua equação, encontramos dois pontos pertencentes a essa reta e traçamos a reta que passa por esses dois pontos.

Exemplo:

Encontre o gráfico da reta y = 2x – 1.

Analisando a reta, o primeiro ponto, que é o mais fácil de identificar, é A ( 0, – 1), pois sabemos que o coeficiente linear é o ponto em que a reta intercepta o eixo y. Se substituirmos na equação x = 0, encontramos y = – 1.

Agora precisamos de outro ponto qualquer. Para isso, atribuímos um valor para x e encontramos o seu correspondente em y. Por exemplo, escolhendo x = 1, temos que:

y = 2x – 1

x = 1

y = 2 ·1 – 1

y = 2 – 1

y = 1

O ponto B (1, 1) pertence à reta, então marcamos os pontos A(0, –1) e B (1,1) no plano cartesiano e traçamos a reta que passa por esses dois pontos.

Veja também: Como calcular a distância entre dois pontos no espaço?

Exercícios resolvidos

Questão 1 - Analisando as equações, marque a alternativa correta:

I → y = – 2x + 5

II → y = – 2 + 3x

III → y = 5

As retas são, respectivamente:

A) crescente, decrescente e constante.
B) decrescente, decrescente e constante.
C) crescente, decrescente e crescente.
D) decrescente, crescente e crescente.

E) decrescente, crescente e constante.

Resolução

Alternativa E.

I → m = – 2. Como ele é negativo, a reta é decrescente.

II → m = 3. Como ele é positivo, a reta é crescente.

III → m = 0. Note que x não aparece, logo m = 0, então a reta é constante.

Questão 2 - Dada a reta que passa pelos pontos A(-1, 2) e B (2,3), o seu coeficiente angular é igual a:

Resolução

Alternativa D.
Dados os dois pontos, encontraremos o coeficiente angular:

Publicado por Raul Rodrigues de Oliveira
Assista às nossas videoaulas

Artigos Relacionados

Cálculo do coeficiente angular
ângulo, reta, condição de existência da reta, pontos, plano cartesiano, tangente, inclinação da reta, como encontrar a inclinação da reta, coeficiente angular, tangente do ângulo, cálculo do coeficiente angular.
Elipse
Aprenda o que é uma elipse e saiba quais são seus elementos. Veja qual é a equação dessa figura assim como sua fórmula para o cálculo da área.
Equação geral da reta
Conheça a equação geral da reta e aprenda a representá-la graficamente. Confira ainda exercícios resolvidos sobre o assunto.
Equação reduzida da circunferência
Clique aqui e aprenda como determinar a equação reduzida de uma circunferência, utilizada para representar a circunferência algebricamente.
Equações paramétricas
equações, equação geral da reta, forma geral da reta, equações paramétricas da reta, formas paramétricas da reta, parâmetro, como formar as equações paramétricas de uma reta.
Generalidades sobre as equações da reta
Generalidades sobre as equações da reta, Forma geral da reta, equação geral da reta, Forma reduzida da reta, equação reduzida da reta, Forma paramétrica da reta, equação paramétrica da reta.
Hipérbole
Entenda o que é hipérbole e conheça suas principais propriedades. Aprenda sua equação geral e sua equação reduzida.
Retas perpendiculares
Clique aqui para entender o que são retas perpendiculares. Saiba como identificar duas retas perpendiculares a partir de suas equações reduzidas.
video icon
Escrito"Caixa de Pandora" próximo à ilustração de Pandora abrindo a caixa de Pandora.
Filosofia
Caixa de Pandora
Entenda o mito da Pandora, que se propõe a explicar a origem do mal no mundo e do sofrimento humano segundo a mitologia grega.

Outras matérias

Biologia
Matemática
Geografia
Física
Vídeos
video icon
Pessoa com as pernas na água
Saúde e bem-estar
Leptospirose
Foco de enchentes pode causar a doença. Assista à videoaula e entenda!
video icon
fone de ouvido, bandeira do reino unido e caderno escrito "ingles"
Gramática
Inglês
Que tal conhecer os três verbos mais usados na língua inglesa?
video icon
três dedos levantados
Matemática
Regra de três
Com essa aula você revisará tudo sobre a regra de três simples.